Phương pháp tính

5
CHƯƠNG I NHẬP MÔN

1.1. Giới thiệu môn phương pháp tính
Phương pháp tính là bộ môn toán học có nhiệm vụ giải đến kết quả bằng số
cho các bài toán, nó cung cấp các phương pháp giải cho những bài toán
trong thực tế mà không có lời giải chính xác. Môn học này là cầu nối giữa
toán học lý thuyết và các ứng dụng của nó trong thực tế.
Trong thời đại tin học hiện nay thì việc áp dụng các phương pháp tính càng
trở nên phổ biến nhằm tăng tốc độ
tính toán.
1.2. Nhiệm vụ môn học
- Tìm ra các phương pháp giải cho các bài toán gồm: phương pháp (PP)
đúng và phương pháp gần đúng.
+ Phương pháp: chỉ ra kết quả dưới dạng một biểu thức giải tích cụ thể.
+ Phương pháp gần đúng: thường cho kết quả sau một quá trình tính
lặp theo một quy luật nào đó, nó được áp dụng trong trường hợp bài
toán không có lời giải đúng hoặc nếu có thì quá phức tạp.
- Xác định tính chấ
t nghiệm
- Giải các bài toán về cực trị
- Xấp xỉ hàm: khi khảo sát, tính toán trên một hàm f(x) khá phức tạp, ta có
thể thay hàm f(x) bởi hàm g(x) đơn giản hơn sao cho g(x) ≅ f(x). Việc lựa
chọn g(x) được gọi là phép xấp xỉ hàm
- Đánh giá sai số : khi giải bài toán bằng phương pháp gần đúng thì sai số
xuất hiện do sự sai lệch giữa giá trị nhận được với nghiệm thực của bài
toán. Vì vậy ta phải đ
ánh giá sai số để từ đó chọn ra được phương pháp tối
ưu nhất
1.3. Trình tự giải bài toán trong phương pháp tính
- Khảo sát, phân tích bài toán
- Lựa chọn phương pháp dựa vào các tiêu chí sau:
+ Khối lượng tính toán ít
+ Đơn giản khi xây dựng thuật toán
+ Sai số bé

6
+ Khả thi
- Xây dựng thuật toán: sử dụng ngôn ngữ giả hoặc sơ đồ khối (càng mịn
càng tốt)
- Viết chương trình: sử dụng ngôn ngữ lập trình (C, C++, Pascal,
Matlab,…)
- Thực hiện chương trình, thử nghiệm, sửa đổi và hoàn chỉnh.

7
CHƯƠNG II SAI SỐ

2.1. Khái niệm
Giả sử x là số gần đúng của x* (x* : số đúng),
Khi đó
∗
−=∆ xx
gọi là sai số thực sự của x
Vì không xác định được
∆
nên ta xét đến 2 loại sai số sau:
- Sai số tuyệt đối: Giả sử
xxxchosaobedu0x
*
∆≤−>∆∃

Khi đó
∆
x gọi là sai số tuyệt đối của x
- Sai số tương đối :
x
x
x
∆
=δ

2.2. Các loại sai số
Dựa vào nguyên nhân gây sai số, ta có các loại sau:
- Sai số giả thiết: xuất hiện do việc giả thiết bài toán đạt được một số điều
kiện lý tưởng nhằm làm giảm độ phức tạp của bài toán.
- Sai số do số liệu ban đầu: xuất hiện do việc đo đạc và cung cấp giá trị đầu
vào không chính xác.
- Sai số phương pháp : xuất hiện do việ
c giải bài toán bằng phương pháp
gần đúng.
- Sai số tính toán : xuất hiện do làm tròn số trong quá trình tính toán, quá
trình tính càng nhiều thì sai số tích luỹ càng lớn.
2.3. Sai số tính toán
Giả sử dùng n số gần đúng
)n,1i(x
i
=
để tính đại lượng y,
với y = f(x
i
) = f(x
1
, x
2
, , x
n
)
Trong đó : f là hàm khả vi liên tục theo các đối số x
i

Khi đó sai số của y được xác định theo công thức sau:
Sai số tuyệt đối:
∑
=
∆
∂
∂
=∆
n
1i
i
i
x
x
f
y

Sai số tương đối:
∑
=
∆
∂
∂
=δ
n
1i
i
i
x
x
fln
y

- Trường hợp f có dạng tổng:
n21i
x xx)x(fy ±±±±==


8

i1
x
f
i
∀=
∂
∂
suy ra
∑
=
∆=∆
n
1i
i
xy

- Trường hợp f có dạng tích:

n
x* *
1
k
x
k
x* *
2
x*
1
x
)
i
x(fy
+
==


)xln x(ln)xln xlnx(ln
x x
x x.x
lnfln
n1mm21
n1m
m21
++−+++==
+
+



i
x
1
x
fln
ii
∀=
∂
∂
=>
∑∑
==
δ=
∆
=δ
n
1i
i
n
1i
i
i
y
x
x
x


Vậy
∑
=
δ=δ
n
1i
iy
x


- Trường hợp f dạng luỹ thừa: y = f(x) =
)0(x >α
α


xlnflnyln α==


xx
fln α
=
∂
∂
Suy ra
x
x
x
.y αδ=
∆
α=δ


Ví dụ. Cho
13.12c;324.0b;25.10a ≈≈≈

Tính sai số của:

cb
a
y
3
1
=
;
cbay
3
2
−=

GiảI

c
2
1
ba3)cb()a(y
3
1
δ+δ+δ=δ+δ=δ

=
c
c
2
1
b
b
a
a
3
∆
+
∆
+
∆


)cb(cb)a(a)cb()a(y
333
2
δ+δ=∆+∆=∆


)
c
c
2
1
b
b
(cb
a
a
a3y
3
2
∆
+
∆
+
∆
=∆


9
CHƯƠNG III TÍNH GIÁ TRỊ HÀM

3.1. Tính giá trị đa thức. Sơ đồ Hoocner
3.1.1. Đặt vấn đề
Cho đa thức bậc n có dạng tổng quát :
p(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n-1
+ + a
n-1
x+ a
n
(a#0)
Tính giá trị đa thức p(x) khi x = c (c: giá trị cho trước)
3.1.2. Phương pháp
Áp dụng sơ đồ Hoocner nhằm làm giảm đi số phép tính nhân (chỉ thực
hiện n phép nhân), phương pháp này được phân tích như sau:

p(x) = ( ((a
0
x + a
1
)x +a
2
)x+ +a
n-1
)x + a
n

Ö
p(c) =
( ((a
0
c + a
1
)c +a
2
)c+ +a
n-1
)c + a
n

Ö
Đặt p
0
= a
0

p
1
= a
0
c + a
1
= p
0
c + a
1

p
2
= p
1
c

+ a
2
. . . . . . . .
p
n
= p
n-1
c + a
n
= p(c)
Sơ đồ Hoocner
a
0
a
1
a
2
a
n-1
a
n
p
0*
c p
1*
c p
n-2*
c p
n-1*
c
p
0
p
1
p
2
p
n-1
p
n
= p(c)
Vd: Cho p(x) = x
6
+ 5x
4
+ x
3
- x - 1 Tính p(-2)
Áp dụng sơ đồ Hoocner:
1 0 -5 2 0 -1 -1
-2 4 2 -8 16 -30
1 -2 -1 4 -8 15 -31
Vậy p(-2) = -31
3.1.3. Thuật toán
+ Nhập vào: n, c, các hệ số a
i
(
n,0i = )

10
+ Xử lý: Đặt p = a
0

Lặp i = 1 → n : p = p * c + a
i

+ Xuất kết quả: p
3.1.4. Chương trình
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
main ( )
{ int i, n; float c, p, a [10];
clrsr ();
printf (“Nhap gia tri can tinh : ”); scanf (“%f”,&c);
printf (“Nhap bac da thuc : ”); scanf (“%d”,&n);
printf (“Nhap các hệ số: \n”);
for (i = 0, i<=n; i++) {
printf (“a[%d] = ”, i); scanf (“%f”, &a[i]);
}
p = a[0];
for (i=1, i<=n; i++) p = p*c + a[i];
printf (“Gia tri cua da thuc : %.3f”, p);
getch ( );
}
3.2. Sơ đồ Hoocner tổng quát
3.2.1. Đặt vấn đề
Cho đa thức bậc n có dạng tổng quát :
p(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n-1
+ + a
n-1
x
+
a
n
(a
0
# 0) (1)
Xác định các hệ số của p(y + c), trong đó y: biến mới, c: giá trị cho trước
3.2.2. Phương pháp
Giả sử: p(y+c) = b
0
y
n
+ b
1
y
n-1
+ + b
n-1
y + b
n
(2)
Như vậy ta phải xác định các hệ số b
i

)n,0i( =


11

Xác định b
n

Xét y=0, từ (2) => p(c) = b
n


Xác định b
n-1

p(x) = (x-c) p
1
(x) + p(c) (1
’
)
Trong đó p
1
(x) : đa thức bậc n-1

n1n2n
2n
1
1n
0
b)byb ybyb(y)cy(p +++++=+
−−
−−

Đặt x=y+c ta có:

n1n2n
2n
1
1n
0
b)byb ybyb)(cx()x(p +++++−=
−−
−−
(2’)
Đồng nhất (1’) & (2’) suy ra:
p
1
(x) = b
0
y
n-1
+ b
1
y
n-2
+ + b
n-2
y + b
n - 1
Xét y = 0, p
1
(c) = b
n-1
Tương tự ta có: b
n-2
= p
2
(c), …, b
1
= p
n-1
(c)
Vậy b
n-i
= p
i
(c) (i = 0 >n) , b
0
=a
0

Với p
i
(c) là giá trị đa thức bậc n-i tại c
Sơ đồ Hoocner tổng quát:
a
0
a
1
a
2
a
n-1
a
n
p
0*
c p
1*
c p
n-2*
c p
n-1*
c
p
0
p
1
p
2
p
n-1
p
n
= p(c)=b
n
p
0
’
*
c p
1
’
*
c p
n-2
’
*
c
p
0
p
1
’
p
2
’
p
n-1
’
= p
1
(c)=b
n-1
…


Ví dụ: Cho p(x) = 2x
6
+ 4x
5
- x
2
+ x + 2. Xác định p(y-1)

12
Áp dụng sơ đồ Hoocner tổng quát :
\
p(x) 2 4 0 0 -1 1 2
-2 -2 2 -2 3 -4
p
1
(x) 2 2 -2 2 -3 4 -2
-2 0 2 -4 7
p
2
(x) 2 0 -2 4 -7 11
-2 2 0 -4
p
3
(x) 2 -2 0 4 -11
-2 4 -4
p
4
(x) 2 -4 4 0
-2 6
p
5
(x) 2 -6 10
-2
2
-8
Vậy p(y-1) = 2y
6
- 8y
5
+ 10y
4
- 11y
2

+11y- 2
3.2.3. Thuật toán
- Nhập n, c, a [i] (i =
n,0
)
- Lặp k = n → 1
Lặp i = 1 → k : a
i
= a
i-1
* c + a
i

- Xuất a
i
(i =
n,0
)
3.3. Khai triển hàm qua chuỗi Taylo
Hàm f(x) liên tục, khả tích tại x
0
nếu ta có thể khai triển được hàm f(x) qua
chuỗi Taylor như sau:
( )
!n
)xx)(x(f

!2
)xx)(x(f
!1
)xx)(x(f
)x(f)x(f
n
00
n2
0000
0
−
++
−
′′
+
−
′
+≈

khi x
0
= 0, ta có khai triển Macloranh:
!n
x)0(f

!2
x)0(f

!1
x)0(f
)0(f)x(f
n)n(2
++
′′
++
′
++≈

Ví dụ:

!6
x
!4
x
!2
x
1Cosx
642
+−+−≈


13
BÀI TẬP



1.

Cho đa thức p(x) = 3x
5
+ 8x
4
–2x
2
+ x – 5
a.

Tính p(3)
b.

Xác định đa thức p(y-2)
2.

Khai báo (định nghĩa) hàm trong C để tính giá trị đa thức p(x) bậc n
tổng quát theo sơ đồ Hoocner
3.

Viết chương trình (có sử dụng hàm ở câu 1) nhập vào 2 giá trị a, b.
Tính p(a) + p(b)
4.

Viết chương trình nhập vào 2 đa thức p
n
(x) bậc n, p
m
(x) bậc m và giá trị
c. Tính p
n
(c) + p
m
(c)
5.

Viết chương trình xác định các hệ số của đa thức p(y+c) theo sơ đồ
Hoocner tổng quát
6.

Khai báo hàm trong C để tính giá trị các hàm e
x
, sinx, cosx theo khai
triển Macloranh.

14
CHƯƠNG IV GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH

4.1. Giới thiệu
Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0 ta tiến hành qua 2 bước:
- Tách nghiệm: xét tính chất nghiệm của phương trình, phương trình có
nghiệm hay không, có bao nhiêu nghiệm, các khoảng chứa nghiệm nếu có.
Đối với bước này, ta có thể dùng phương pháp đồ thị, kết hợp với các định
lý mà toán học hỗ trợ.
- Chính xác hoá nghiệm: thu hẹp dần khoảng chứa nghiệm để hội tụ được
đến giá trị nghiệm gần đ
úng với độ chính xác cho phép. Trong bước này ta
có thể áp dụng một trong các phương pháp:
+ Phương pháp chia đôi
+ Phương pháp lặp
+ Phương pháp tiếp tuyến
+ Phương pháp dây cung
4.2. Tách nghiệm
* Phương pháp đồ thị:
Trường hợp hàm f(x) đơn giản
- Vẽ đồ thị f(x)
- Nghiệm phương trình là hoành độ giao điểm của f(x) với trục x, từ đó suy
ra số nghiệm, khoảng nghiệm.
Trường hợp f(x) phức tạp
- Biến đổi tương đương

f(x)=0 <=>

g(x) = h(x)
- Vẽ đồ thị của g(x), h(x)
- Hoành độ giao điểm của g(x) và h(x) là nghiệm phương trình, từ đó suy
ra số nghiệm, khoảng nghiệm.
* Định lý 1:
Giả sử f(x) liên tục trên (a,b) và có f(a)*f(b)<0. Khi đó trên (a,b) tồn tại một
số lẻ nghiệm thực x ∈ (a,b) của phương trình f(x)=0. Nghiệm là duy nhất
nếu f’(x) tồn tại và không đổi dấu trên (a,b).

Xem chi tiết: Phương pháp tính