Toan Cao Cấp

GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
Sýu tầm by hoangly85 5
Ðịnh nghĩaầ cho hàm ị biến z ụ f ậxờ yấề Ðạo hàm riêng theo biến x tại ðiểm ậx
o
, y
o
) là
giới hạn ậnếu cóấ sau ðâyầ


và ðạo hàm riêng theo biến x ðýợc ký hiệu là hay vắn tắt là f
x
’
(x
o
, y
o
). Ta
còn có thể ký hiệu ðạo hàm riêng này bởi z
’
x
(x
o
, y
o
) hay (x
o
, y
o
).
Ðạo hàm riêng theo biến y của hàm x ụ f ậxờ yấ tại ậx
o
, y
o
) ðýợc ðịnh nghĩa týõng tự
bởiầ
=
Nhận xétầ dể thấy rằng f
’
x
(x
o
, y
o
) =
Từ ðó ta có thể tính dạo hàm riêng theo biến x tại ậx
o
, y
o
) bằng cách coi y ụ y
o
là hằng
số và tính ðạo hàm của hàm một biến fậxờ y
o
) tại x ụ x
o
. Týõng tựờ ðể tính ðạo hàm
riêng theo biến y tại ậx
o
, y
o
) ta tính ðạo hàm của hàm một biến fậxờ y
o
) tại y ụ y
o
(xem
x = x
o
là hằng sốấề

Ví dụầ
1). Cho z = x
2
y. Tính z
’
x
và z
’
y
Xem y nhý hằng số và tính ðạo hàm theo biến x ta có z
’
x
= 2xy.
Týõng tựờ xem x nhý hằng số và tính ðạo hàm theo biến y ta vóầ x
’
y
=
x
2
.
2) . Tính z’
x
, z’
y
và z’
x
(4,  ). Xem y nhý hằng sốờ ta cóầ


GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
Sýu tầm by hoangly85 6


Xem x nhý hằng sốờ ta cóầ

2. Ðạo hàm riêng cấp cao
Các ðạo hàm riêng z’
x
và z’
y
của hàm z = f(x,y) ðýợc gọi là các ðạo hàm riêng cấp ữề
Ðạo hàm riêng cấp ị của một hàm là ðạo hàm riêng ậcấp 1) của ðạo hàm riêng cấp ữ
của hàm ðóề ổàm ị biến z = f(x, y) có bốn ðạo hàm riêng cấp ị sau ðâyầ
1)
Ðạo hàm riêng cấp ị này còn ðýợc ký hiệu bằng các cách khác nhau
nhý sauầ
2)

Ðạo hàm riêng cấp ị này còn ðýợc ký hiệu bởiầ

3)
Ðạo hàm riêng cấp ị này còn ðýợc ký hiệu bởiầ
4)
còn ðýợc ký hiệu là .

GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
Sýu tầm by hoangly85 7

Hoàn toàn týõng tự ta cũng có ðịnh nghĩa và ký hiệu cho các ðạo hàm riêng
cấp cao hõnề ũhẳng hạnờ hay
hay và hai ðạo hàm riêng cấp ĩ này
còn ðýợc viết là .

Ví dụầ
1) z = x
4
+ y
4
– 2x
3
y
3
. Ta cóầ
z’
x
= 4x
3
– 4xy
3
z’
y
= 4y
3
– 6x
2
y
2
z"
xx
= 12x
2
– 4y
3
z"
yy
= 12y
2
– 12x
2
y
z"
xy
= -12y
2
z"
yx
= -12 y
2


2) Xét hàm số

Ta cóờ với ậx, y) ≠ ậếờ ếấ thì

Yj#Wҥi (0, 0) thì f(0, 0) = 0.
Do ðó tại ậx, y) ≠ ậếờ ếấ

GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
Sýu tầm by hoangly85 8
và
suy ra

Hoàn toàn týõng tựờ ta tính ðýợcầ
tại ậxờ yấ ≠ ậếờ ếấ
và


Qua ví dụ trên ta thấy các ðạo hàm riêng theo cùng các biến nhýng khác thứ tự
không phải bao giờ cũng bằng nhau. Tuy nhiên ðịnh Oê#sau ðây cho ta ðiӅu
kiӋn ÿӇ#Fic ðҥo Kjm riêng z"
xy
#Yj#z"
yx
bҵng nhau.

Ðӏnh Oê: NӃu f(x, y) có các ðạo hàm f"
xy
và f"
xy
trong một lân cận của ðiểm ậx
0
, y
0
)
thì

chú ý rằng ðịnh lý trên cũng mở rộng ðѭӧc ra cho các ðạo hàm cấp cao hõn và nhiều
biến hõnề
3. Vi phân toàn phần
Ðịnh nghĩa:
Hàm số z = f(x, y) ðýợc gọi là khả vi tại ậx
0
, y
0
) nếu số gia toàn phần

theo các số gia  x,  y của các biến x, y tại ậx
0
, y
0
) có thể ðýợc viết dýới dạng

trong ðó A, B là các hằng số ậkhông phụ thuộc  x,  y) và   0,   0 khi
 x

0,  y

0.

GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
Sýu tầm by hoangly85 9
Biểu thức ðýợc gọi là vi phân của hàm số f tại ậx
0
, y
0
), ký hiệu là
df(x
0
, y
0
).
Ðịnh lý:
(i) Nếu f(x, y) khả vi tại ậx
0
, y
0
) thì f có ðạo hàm riêng cấp ữ tại ðó và

(ii) Nếu f(x, y) có các ðạo hàm riêng trên ữ lân cận của ậx
0
, y
0
) và f’
x
, f’
y
liên
tục tại ậx
0
, y
0
) thì f khả vi tại ậx
0
, y
0
).
Chú ý rằng khi xét các trýờng hợp ðặc biệt f(x, y) = x và g(x, y) = y ta có vi phânầ dx =
 x và dy =  y. Do ðó công thức vi phân cấp ữ của f(x, y) còn ðýợc viết dýới dạng
df = f’
x
.dx + f’
y
.dy
và còn ðýợc gọi là vi phân toàn phần của hàm f(x, y).
Ví dụầ Với , ta cóầ


vậy
Tính chất: Týõng tự nhý ðối với hàm một biến ta có các tính chất sau ðây của vi
phânầ
d(f + g) = df + dg
d(f.g) = g.df + f.dg
(với g  0).

GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
Sýu tầm by hoangly85 10

Ứng dụng vi phân ðể tính gần ðúngầ
Giả sử z = f(x, y) khả vi tại ậx
0
, y
0
). Khi ðóờ theo ðịnh nghĩa của vi phân ta có
thể tính gần ðúng f(x, y) bởiầ

với ậx, y) gần ậx
0
, y
0
).
Ví dụ: Tính gần ðúng
Xét hàm số f(x, y) = , ta tính gần ðúng
A = f(1,02; 1,97) nhý sauầ
f(1,02; 1,97)  f(1, 2) + f’
x
(1, 2).(1,02 - 1) + f’
y
(1, 2).(1,97 - 2)
với f(1, 2) = = 3


Suy ra

4. Vi phân cấp cao
Cho hàm ị biến z ụ fậxờ yấề
Bản thân cũng là một hàm theo ị biến xờ y nên ta có
thể xét vi phân của nóề ỷếu dfậxờ yấ có vi phân thì vi phân ðó ðýợc gọi là vi phân cấp
2 của fậxờ yấờ ký hiệu là d
2
f (x, y) hay vắn tắt là d
2
f. Vậyầ
d
2
f = d(df)
T
ổng quátờ vi phân cấp n ậnếu cóấ của f ðýợc ðịnh nghĩa bởiầ


GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
Sýu tầm by hoangly85 11
Công thức vi phân cấp ị của zụfậxờ yấầ



Giả thiết thêm rằngờ các ðạo hàm hỗn hợp liên tục thì ta cóầ

và do ðóầ

hay ta cóầ

Ngýời ta dùng ký hiệu luỹ thừa một cách hình thức ðể viết lại công thức vi phân cấp ị
dýới dạngầ

Týõng tựờ công thức vi phân cấp n của z ụ fậxờ yấ có thể ðýợc viết dýới dạngầ

và công thức này cũng ðúng cho trýờng hợp nhiều biến hõnề

IV. ÐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP
1. Trýờng hợp một biến ðộc lập
Giả sử z ụ fậxờ yấ và xờ y lại là các hàm theo tầ x ụ xậtấờ y ụ yậtấề Vậy zậtấ ụ fậxậtấờ yậtấấ
là hàm ữ biến theo tề Ðạo hàm của zậtấ theo biến t ðýợc tính theo công thức sau ðâyầ


GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
Sýu tầm by hoangly85 12
Ví dụầ
Tính nếu , trong ðó xụcostờ yụsintề


Tính nếu trong ðó yụcosx


2. Trýờng hợp nhiều biến ðộc lập
Giả sử z ụ fậxờyấ và xờ y lại là các hàm theo các biến sờ tề ẩhi ðó ðể tính các ðạo hàm
riêng theo s và t của hàm hợp f ậ xậsờtấờ yậsờtấấ ta cũng có các công thức týõng tự nhý
ðối với hàm một biến sau ðâyầ


Ví dụầ
Tìm và nếu z ụ fậxờyấ trong ðó x ụ uềv và y ụ
Ta có , , và .
Do ðó



GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
Sýu tầm by hoangly85 13

Cho z = f(x,y,t), trong ðó x ụ xậtấờ y ụ yậtấề
Tính ðạo hàm của hàm hợpầ
z(t) = f (x(t), y(t), t).
Ta cóầ
=
=
V. ÐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN
1. Hàm ẩn một biến
Giả sử có một hệ thức giữa hai biến xờ y dạng
F(x,y) = 0
trong ðó ≠ậxờyấ là hàm ị biến xác ðịnh trong một lân cận mở ắ của ậx
0
, y
0
) và ≠ậx
0
,
y
0
) = 0. Giả thiết rằng s là số dýõng và y duy nhất sao cho ậxờ
y) D và ≠ậxờ yấ ụ ếề
Nhý vậy ta có hàm số y ụ yậxấ xác ðịnh trên khoảng ậx
0
– s, x
0
+ s) và thỏa ≠ậxờ yậxấấ
= 0 . Hàm số y ụ yậxấ này ðýợc gọi là hàm ẩn theo biến x xác
ðịnh bởi phýõng trình ≠ậxờyấ ụ ếề

Trong toán học ngýời ta gọi các ðịnh lý hàm ẩn là các ðịnh lý khẳng ðịnh sự tồn tại
của hàm ẩn và ðạo hàm của nóề ắýới ðây là ðịnh lý cõ bản cho hàm ẩn một biếnề
Ðịnh lý: Giả sử hàm ≠ậxờyấ thỏa ị ðiều kiện sauầ
(i) F liên tục trong hình tròn mở ửậỳờ åấ tâm ỳậx
0
, y
0
) bán kính åờ với ≠ậx
0
, y
0
)
= 0;
(ii) Tồn tại các ðạo hàm riêng liên tục trong B(P, åấ và (x
0
, y
0
) ≠ ếề
Khi ðó có åễế sao cho phýõng trình ≠ậxờyấ ụ ế xác ðịnh một hàm ẩn yậxấ khả
vi liên tục trong ậx
0
– s, x
0
+ s) và

GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2
Sýu tầm by hoangly85 14
.

Nhận xét: Nếu thừa nhận sự tồn tại của hàm ẩn và ðạo hàm của nó thì công thức
ðạo hàm của hàm ẩn trong ðịnnh lý trên có thể suy ra dễ dàng từ công thức ðạo hàm
của hàm hợpầ
0 = F(x, y(x)) = F’
x
+ F’
y
. y’
=> y’ ụ -
Ví dụầ Tính ðạo hàm của hàm ẩn tại ðiểm ậữờ ðấ
nếu xềy –e
x
.sin y = ðề
Coi y là hàm theo xờ lấy ðạo hàm phýõng trình trên ta ðýợc
y + x.y’ – e
x
siny – e
x
cosy. y’ ụ ế
Tại ậxờyấ ụ ậữờ ðấ ta cóầ
ð ự y’ ự eềy’ ụ ế
Suy ra y’ậữấ ụ
Ghi chú: Ðể tính ðạo hàm cấp ị y’’ của hàm ẩnờ từ hệ thức
0 = F’x ự ≠’y ề y’
ta có thể tiếp tục lấy ðạo hàm thì ðýợcầ
0 = F"
xx
+ F"
xy
.y’ ự ậ≠ộ
yx
+ F"
yy
. y’ấềy’ ự ≠’
y
.y".
Từ ðây sẽ rút ra y”ề

2. Hàm ẩn 2 biến
Týõng tự nhý trýờng hợp hàm ẩn ữ biếnờ với một số giả thiết thì phýõng trình

Xem chi tiết: Toan Cao Cấp