iv
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các
kết quả trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực, được các đồng
tác giả cho phép sử dụng và luận án hoàn toàn không trùng lặp với
bất kì tài liệu nào khác.
Đậu Xuân Lương
1
LỜI CẢM ƠN
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Lê Dũng
Mưu và PGS. TS Trần Văn Ân. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
nhất tới các Thầy, những người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả
trong cả quá trình học tập, nghiên cứu và viết bản luận án này.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo trường Đại học Vinh,
lãnh đạo khoa Toán học, Khoa Sau đại học – Trường Đại học Vinh; Lãnh
đạo Viện Toán học, cùng tập thể GS và các Thầy, Cô của Trường Đại học
Vinh và Viện Toán học đã động viên giúp đỡ tạo nhiều điều kiện thuận
lợi trong thời gian tác giả học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các nhà khoa học và các Thầy, Cô thuộc
Tổ Giải tích của Khoa Toán học – Trường Đại học Vinh đã dành thời
gian đọc luận án và cho những ý kiến nhận xét quý báu.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Trường Cao Đẳng Sư phạm Quảng Ninh
và Khoa Tự nhiên thuộc Trường Cao Đẳng Sư phạm Quảng Ninh, người
thân và bạn bè vì những góp ý, ủng hộ và động viên về tinh thần cũng
như vật chất cho tác giả.
Đậu Xuân Lương
2
MỞ ĐẦU
1 Lí do chọn đề tài
1.1 Lý thuyết bất đẳng thức biến phân ra đời vào những năm 60
([50, 20, 32]), là một công cụ mạnh và thống nhất để nghiên cứu các bài
toán cân bằng. Cho đến nay, những bài toán được quy về các bài toán
bất đẳng thức biến phân gồm có: bài toán cân bằng mạng giao thông
(Traffic Network Equilibrium Problem) và bài toán gần với nó là bài toán
cân bằng giá không gian (Spatial Price Equilibrium Problem) (tham khảo
chẳng hạn [8, 47, 9, 42, 41]), các bài toán cân bằng tài chính (Financial
Equilibrium Problem), cân bằng nhập cư (Migration Equilibrium Prob-
lem), hệ thống môi trường (Environmental Network Problem) và mạng
kiến thức (Knowledge Network Problem) ([11, 25, 26, 10, 40, 41, 29]).
Phương pháp hàm phạt là một trong các phương pháp quan trọng
để giải các bài toán bất đẳng thức biến phân (tham khảo chẳng hạn
[38, 23, 39, 1, 51]). Nhờ vào phương pháp này, một bài toán với miền
ràng buộc phức tạp có thể được chuyển về một dãy các bài toán không
ràng buộc hoặc với ràng buộc đơn giản hơn. Trong khi đó, phương pháp
chiếu là một lớp phương pháp đơn giản và hiệu quả, đặc biệt đối với các
bài toán thỏa mãn điều kiện đơn điệu. Nhược điểm duy nhất của phương
pháp này là ta phải tính hình chiếu của một điểm lên một miền lồi bất kỳ,
và đó là một bài toán rất khó trong trường hợp tổng quát, khi mà miền
đó không có hình dạng đặc biệt. Do đó, kết hợp phương pháp hàm phạt
3
và phương pháp chiếu sẽ khắc phục được nhược điểm này của phương
pháp chiếu.
1.2 Khái niệm bất đẳng thức biến phân vector được giới thiệu bởi
Giannessi [16]. Từ đó tới nay, người ta đã tìm được nhiều ứng dụng của
bài toán bất đẳng thức biến phân vector (Vector Variational Inequality
Problem, viết tắt là VVIP) và bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu
(Weak Vector Variational Inequality Problem, viết tắt là WVVIP) trong
bài toán tối ưu đa mục tiêu (Multiobjective Optimization Problem, viết
tắt là MOP) (tham khảo chẳng hạn [16, 2, 4, 53, 18], trong bài toán xấp
xỉ vector (Vector Approximation Problem) ([54]), và trong bài toán cân
bằng giao thông vector (Vector Traffic Equilibrium Problem) ([55]). Sự
tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu cũng được
nghiên cứu trong nhiều công trình (tham khảo chẳng hạn [6, 4, 3, 31, 12]).
Để có thể ứng dụng bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu vào
thực tiễn, đòi hỏi phải có các thuật toán giải số hiệu quả cho bài toán
này. Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi, cho tới nay chỉ có một vài
công trình nghiên cứu về các thuật toán để giải bài toán bất đẳng thức
biến phân vector yếu ([18, 19]). Từ rất lâu, phương pháp hàm phạt đã
được áp dụng để giải các bài toán tối ưu và các bài toán bất đẳng thức
biến phân dạng thường, đưa một bài toán với miền ràng buộc phức tạp
về một dãy các bài toán có ràng buộc đơn giản hơn hoặc không có ràng
buộc. Tuy nhiên, cho tới nay chưa có bất cứ công trình nào nghiên cứu
áp dụng phương pháp này cho bài toán bất đẳng thức biến phân vector
yếu mà chúng tôi được biết.
1.3 Khái niệm nghiệm tối ưu Pareto (mà trong luận án này chúng tôi
gọi là nghiệm Pareto) của bài toán tối ưu đa mục tiêu xuất hiện đầu tiên
trong các công trình của Edgeworth [13] và Pareto [44]. Một điểm x được
gọi là nghiệm Pareto của bài toán tối ưu đa mục tiêu với hàm mục tiêu
f = (f
1
, . . . , f
k
) (k mục tiêu) nếu không có một điểm nào khác tốt hơn
4
điểm đó, nghĩa là không tồn tại một điểm y = x sao cho f
i
(y) ≤ f
i
(x)
với mọi i = 1, . . . , k, và f
j
(y) < f
j
(x) với một chỉ số j nào đó. Điểm x
được gọi là nghiệm Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu nếu không
có một điểm nào khác tốt hơn điểm đó xét trên tất cả các mục tiêu, nghĩa
là không tồn tại y sao cho f
i
(y) < f
i
(x) với mọi i = 1, . . . , k.
Bài toán tối ưu đa mục tiêu có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh
vực, trong cả khoa học và cuộc sống. Lý thuyết tối ưu đa mục tiêu được
sử dụng trong bài toán xấp xỉ vector (Vector Approximation Problem),
lý thuyết trò chơi (Game Theory), các bài toán quản lý và hoạch định tài
nguyên (Resource Planning and Management), lý thuyết phúc lợi (Welfare
Theory), các bài toán trong kỹ thuật như điều khiển phi cơ, các hệ thống
cơ khí chính xác, .v.v (tham khảo chẳng hạn [48, 49, 33, 24]).
Phương pháp hàm phạt áp dụng cho bài toán tối ưu đa mục tiêu đã
được nghiên cứu trong một vài công trình gần đây (tham khảo [52, 21,
22, 34]). Trong [34], Liu và Feng nghiên cứu nghiệm Pareto yếu của bài
toán MOP(D, f) sử dụng một hàm phạt mũ. Liu và Feng đã chứng minh
rằng nếu x là một điểm giới hạn của một dãy các nghiệm Pareto yếu của
các bài toán phạt và x chấp nhận được (nghĩa là x ∈ D), thì x là một
nghiệm Pareto yếu của bài toán ban đầu. Như vậy, các định lý hội tụ của
họ dựa trên giả thiết rằng điểm giới hạn x của dãy các nghiệm Pareto
yếu của các bài toán phạt nằm trong miền ràng buộc D. Giả thiết này là
một điểm bất lợi trong cách tiếp cận bài toán tối ưu đa mục tiêu với hàm
phạt mũ của Liu và Feng. Từ đó nảy sinh yêu cầu phải có một mô hình
hàm phạt cho các kết quả hội tụ tốt hơn, khắc phục được nhược điểm của
mô hình đề xuất trong [34].
Với các lí do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài “Phương pháp hàm
phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân” làm đề tài luận án
tiến sĩ. Đề tài tập trung nghiên cứu những vấn đề sau.
(1) Kết hợp phương pháp hàm phạt và phương pháp chiếu để có một
5
thuật toán hoàn chỉnh giải các bài toán bất đẳng thức biến phân dạng
VIP(D, f), với D lồi đóng khác rỗng và f đơn điệu, liên tục Lipschitz.
Bằng cách này, ta khắc phục được trở ngại lớn nhất của phương pháp
chiếu là sự khó khăn khi tính toán hình chiếu của một điểm lên một miền
lồi bất kỳ.
(2) Áp dụng phương pháp hàm phạt để chuyển một bài toán bất đẳng
thức biến phân vector yếu với ràng buộc trên một miền D lồi đóng bất
kỳ về một dãy các bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu với miền
ràng buộc K ⊃ D đơn giản hơn, gọi là các bài toán phạt. Ta có thể chọn
K = R
k
, nghĩa là các bài toán phạt sẽ không có ràng buộc.
(3) Áp dụng phương pháp hàm phạt để chuyển một bài toán tối ưu đa
mục tiêu với ràng buộc trên một miền D lồi đóng bất kỳ về một dãy các
bài toán tối ưu đa mục tiêu với miền ràng buộc K ⊃ D đơn giản hơn, gọi
là các bài toán phạt. Ta có thể chọn K = R
k
, nghĩa là các bài toán phạt
sẽ không có ràng buộc. Bằng cách sử dụng hàm phạt ngoài, chúng tôi thu
được các kết quả hội tụ tốt hơn so với các kết quả nêu trong [34]. Ngoài
ra, chúng tôi còn chỉ ra điều kiện đủ để các bài toán phạt đều có nghiệm
Pareto yếu, đồng thời dãy các nghiệm đó có ít nhất một điểm giới hạn và
đó chính là một nghiệm của bài toán ban đầu.
2 Mục đích nghiên cứu
Luận án nhằm mục đích nghiên cứu áp dụng phương pháp hàm phạt
cho bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bất đẳng thức biến phân
vector yếu và bài toán tối ưu đa mục tiêu, trong đó bài toán cuối cùng
trong một số trường hợp đặc biệt là tương đương với bài toán bất đẳng
thức biến phân vector yếu. Qua đó, luận án đưa ra những thuật toán mới
cho các bài toán vừa nêu ở trên.
6
3 Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp hàm phạt, bài toán bất đẳng thức biến phân dạng thường
và dạng vector yếu, bài toán tối ưu đa mục tiêu.
4 Phạm vi nghiên cứu
Luận án nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bất
đẳng thức biến phân vector yếu và bài toán tối ưu đa mục tiêu trong
không gian Euclide hữu hạn chiều R
k
.
5 Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lí thuyết trong khi thực
hiện đề tài. Trong chương thứ nhất, bằng việc kết hợp lợi thế của phương
pháp hàm phạt và phương pháp chiếu, chúng tôi đã khắc phục được trở
ngại lớn nhất của phương pháp chiếu là khó khăn trong việc tính hình
chiếu của một điểm lên một miền lồi bất kỳ. Trong chương thứ hai, chúng
tôi nghiên cứu phương pháp hàm phạt áp dụng cho bất đẳng thức biến
phân vector yếu, sử dụng các kỹ thuật chứng minh truyền thống trong
lý thuyết hàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân và cho bài
toán tối ưu để chứng minh tính hội tụ của thuật toán. Điểm khác với các
công trình nghiên cứu về bài toán bất đẳng thức biến phân (dạng thường)
trước đó là chúng tôi đổi vị trí của tham số phạt khi xây dựng bài toán
phạt. Nhờ đó tính hội tụ của thuật toán được chứng minh. Trong chương
thứ ba, thay vì áp dụng hàm phạt mũ như trong [34], chúng tôi sử dụng
hàm phạt ngoài và áp dụng kỹ thuật chứng minh trong [38], nhờ đó thu
được các kết quả hội tụ tốt hơn các kết quả nêu trong [34].
7
6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Kết quả của luận án góp phần giải quyết vấn đề giải số các bài toán
bất đẳng thức biến phân dạng thường và dạng vector yếu và bài toán tối
ưu đa mục tiêu.
Luận án là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên
cứu sinh chuyên ngành Toán giải tích.
7 Tổng quan và cấu trúc luận án
7.1 Tổng quan luận án
Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu phương pháp hàm phạt cho
bài toán bất đẳng thức biến phân (dạng thường), bài toán bất đẳng thức
biến phân vector và bài toán liên quan với nó là bài toán tối ưu đa mục
tiêu.
Chương 1 nghiên cứu vấn đề kết hợp phương pháp hàm phạt và phương
pháp chiếu để giải bài toán bất đẳng thức biến phân. Chúng tôi nhắc lại
một số định nghĩa và kết quả cơ bản về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của
bài toán bất đẳng thức biến phân. Phương pháp chiếu và phương pháp
hàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân được trình bày tương
ứng trong các mục 1.3 và 1.4. Kết quả chính của chương này được trình
bày trong mục 1.5. Trong mục này, chúng tôi đưa ra Thuật toán 3, kết
hợp các phương pháp hàm phạt và phương pháp chiếu để giải bài toán
bất đẳng thức biến phân. Thuật toán này trước hết chuyển một bài toán
bất đẳng thức biến phân ràng buộc trên một miền lồi đóng D bất kỳ
về một dãy các bài toán phạt với ràng buộc đơn giản hơn, sau đó giải
mỗi bài toán phạt này bằng phương pháp chiếu. Vì các bài toán phạt có
miền ràng buộc đơn giản, việc tính hình chiếu của một điểm bất kỳ lên
8
miền ràng buộc đó trở nên dễ dàng hơn. Do đó phương pháp chiếu có
thể giải các bài toán phạt một cách hiệu quả. Chúng tôi minh họa Thuật
toán 3 trong ba ví dụ 1.6.1, 1.6.2, và 1.6.3, giải số bài toán bất đẳng thức
biến phân trong trường hợp hai chiều và nhiều chiều, trong đó trường hợp
nhiều chiều lấy theo mô hình Nash ([28]). Kết quả của Chương 1 được
công bố trong [37].
Trong Chương 2, chúng tôi nghiên cứu phương pháp hàm phạt áp dụng
cho bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu WVVIP(D, F ). Kết quả
cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân vector
yếu mà chúng tôi sử dụng trong chương này là Định lý 2.1.3 ([6]). Trong
định lý này, tính chất cơ bản mà ánh xạ F cần phải thoả mãn là tính
bức yếu trên D trong trường hợp miền D không bị chặn. Chúng tôi đưa
ra khái niệm D-bức trên K. Với ánh xạ F thỏa mãn điều kiện D-bức
trên K, sự tồn tại nghiệm của các bài toán phạt WVVIP(K, F
(t)
) với
t > 0 được đảm bảo. Kết quả này được chứng minh trong Bổ đề 2.2.5.
Trong mục 2.3, chúng tôi trình bày các định lý hội tụ cho mô hình hàm
phạt. Trước hết, với Bổ đề 2.3.1, chúng tôi chứng minh rằng một điểm
giới hạn bất kỳ của một dãy các nghiệm của bài toán phạt là một điểm
chấp nhận được, nghĩa là nó thuộc vào miền ràng buộc của bài toán bất
đẳng thức biến phân vector yếu ban đầu. Tiếp theo, với giả thiết về tính
liên tục của ánh xạ F , trong Định lý 2.3.2 chúng tôi chứng minh rằng
một điểm giới hạn bất kỳ của một dãy các nghiệm của các bài toán phạt
WVVIP(K, F
(t)
) khi tham số phạt t tiến ra vô cùng sẽ là một nghiệm
của bài toán ban đầu WVVIP(D, F ). Chúng tôi đưa ra một tính chất
mạnh hơn tính chất D-bức trên K, đó là tính chất D-bức mạnh trên K
của ánh xạ F : R
k
→ R
r×k
. Định lý 2.3.4 chứng minh rằng nếu F là một
ánh xạ liên tục, đơn điệu, thỏa mãn điều kiện D-bức mạnh trên K, thì
(1) các bài toán phạt luôn có ít nhất một nghiệm;
9
(2) một dãy nghiệm bất kỳ của các bài toán phạt luôn bị chặn và do đó
có ít nhất một điểm giới hạn;
(3) một điểm giới hạn bất kỳ của dãy các nghiệm của các bài toán phạt
sẽ là nghiệm của bài toán ban đầu.
Kết quả của Chương 2 được công bố trong [35].
Trong Chương 3, chúng tôi áp dụng phương pháp hàm phạt cho bài
toán tối ưu đa mục tiêu MOP(D, f). Sử dụng các kết quả về sự tồn tại
nghiệm Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu ([30]) và sự tồn tại
nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu ([6]), trong Bổ
đề 3.2.1 chúng tôi đưa ra điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của các
bài toán phạt MOP(K, f
(t)
) với t > 0. Các kết quả chính về sự hội tụ
của thuật toán phạt được trình bày trong mục 3.3. Bổ đề 3.3.1 chứng
minh tính chấp nhận được của một điểm giới hạn của một dãy bất kỳ
các nghiệm Pareto yếu của các bài toán phạt MOP(K, f
(t)
) khi t tiến ra
vô cùng. Dựa vào bổ đề này, Định lý 3.3.2 chứng tỏ rằng một điểm giới
hạn bất kỳ của một dãy các nghiệm Pareto yếu của các bài toán phạt
MOP(K, f
(t)
) khi t tiến ra vô cùng là một nghiệm Pareto yếu của bài
toán ban đầu MOP(D, f ). Dùng kỹ thuật bao nghiệm Pareto yếu của
các bài toán phạt bởi một hình cầu, trong Định lý 3.3.3 chúng tôi đưa ra
một điều kiện đủ để
(1) các bài toán phạt luôn có ít nhất một nghiệm;
(2) một dãy nghiệm bất kỳ của các bài toán phạt luôn bị chặn và do đó
có ít nhất một điểm giới hạn;
(3) một điểm giới hạn bất kỳ của dãy các nghiệm của các bài toán phạt
sẽ là nghiệm của bài toán ban đầu.
Kết quả của Chương 3 được công bố trong [36].
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét